Article
Full entry |
PDF
(0.3 MB)
Feedback
PDF
(0.3 MB)
Feedback
Summary:
V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál.
References:
[1] Apostol, T. M.: A proof that Euler missed: evaluating $\zeta (2)$ the easy way. Math. Intelligencer 5 (1983), 59–60. DOI 10.1007/BF03026576 | MR 0737691
[2] Došlá, Z., Novák, V.: Nekonečné řady. 3. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2013.
[3] Dunham, W.: Euler: The Master of us all. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1999. MR 1669154
[4] Haluza, J.: Sčítání nekonečných řad a Basilejský problém. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2022. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/bazus/
[5] Harper, J. D.: Another simple proof of $1 + \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots = \frac{\pi ^{2}}{6}$. Amer. Math. Monthly 110 (2003), 540–541. MR 1984408
[6] Havil, J.: Gamma: Exploring Euler’s constant. Princeton University Press, Princeton, 2003. MR 1968276
[7] Jankov, A.: Basilejský problém. SOČ, Ostrava, 2016. Dostupné z: http://soc.nidv.cz/archiv/rocnik38/obor/1
[8] Nahin, P. J.: In pursuit of zeta-3: The world’s most mysterious unsolved math problem. Princeton University Press, Princeton, 2021. MR 4375345
[9] Pace, L.: Probabilistically proving that $\zeta (2)=\pi ^2/6$. Amer. Math. Monthly 118 (2011), 641–643. DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.07.641 | MR 2826455
[10] Perkins, D.: $\varphi $, $\pi $, $e$ & $i$. The Mathematical Association of America, 2018.
[11] Řimnáčová, B.: Mocninné řady. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2020. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/kym38/
[12] Silagadze, Z. K.: The Basel problem: A physicist’s solution. Math. Intelligencer 41 (2019), 14–18. DOI 10.1007/s00283-019-09902-x | MR 3995311
[13] Sullivan, B. W.: The Basel problem: numerous proofs. [online]. Dostupné z: https://www.math.cmu.edu/ bwsulliv/basel-problem.pdf
[14] Van Der Poorten, A., Apéry, R.: A proof that Euler missed: Apéry’s proof of the irrationality of $\zeta (3)$. Math. Intelligencer 1 (1979), 195–203. DOI 10.1007/BF03028234 | MR 0547748
[15] Veselý, J.: Komplexní analýza pro učitele. Karolinum, Praha, 2000.
Search
Partner of
