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Keywords:
corps biquadratiques; groupe de classes; corps de classes de Hilbert; capitulation; groupe des unit
corps biquadratiques; groupe de classes; corps de classes de Hilbert; capitulation; groupe des unit
Summary:
Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{(1)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{(2)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{(1)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(1)}/K)\simeq \mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$ and the group $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(2)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{(1)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{(2)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{(1)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(1)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $\operatorname{Gal\,}(K_2^{(2)}/K)$ est semi-diédral.
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