Previous |  Up |  Next

Article

MSC: 01A55, 01A60, 46-03
Full entry | Fulltext not available (moving wall 12 months)      Feedback
Summary:
Článek je věnován genezi pojmu kompaktního operátoru. Cesta k jeho vytvoření trvala několik desetiletí a nebyla přímočará. Od problémů fyziky k jejich matematické formulaci pomocí integrálních rovnic, přes okrajové úlohy teorie potenciálu, přes snahy o řešení nekonečných soustav lineárních rovnic. Cesta ilustruje ideu přechodu od konečného k nekonečnému, od diskrétního ke spojitému. Ukazuje, proč a jak matematika dospěla k funkcím nekonečně mnoha proměnných, k prostorům funkcí a obecněji, k nekonečněrozměrným prostorům a k zásadním matematickým pojmům, jako je například pojem slabé konvergence. Integrální rovnice byly významným impulsem k vytvoření krystalizačního jádra, v němž se v první dekádě 20. století propojily pojmy z algebry, analýzy, geometrie a topologie. Na cestě k pojmu kompaktního operátoru se setkáme se jmény celé řady vynikajících matematiků: C. Neumann, H. Poincaré, H. von Koch, V. Volterra, I. Fredholm, D. Hilbert, E. Schmidt, M. Fréchet, F. Riesz a další.
References:
[1] Archibald, T., Tazzioli, R.: The reception of Fredholm’s results on integral equations: preliminary report. Real Anal. Exchange 2005, 29th Summer Symposium Conference, 113–136. MR 2219598
[2] Banach, S.: Théorie des opérations linéaires. Monografje matematyczne, Tom I. Warszawa, 1932. Zbl 0005.20901
[3] Bečvář, J.: Eduard Weyr 1852–1903. Prometheus, Praha, 1995. MR 1935795
[4] Birkhoff, G., Kreyszig, E.: The establishment of functional analysis. Historia Math. 11 (3) (1984), 258–321. DOI 10.1016/0315-0860(84)90036-3 | MR 0765342
[5] Bottazzini, U.: The higher calculus: a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass. Springer-Verlag, New York, 1986. MR 0860945
[6] Bourbaki, N.: Elements of the history of mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1994. MR 1290116
[7] Courant, R.: Dirichlet’s principle, conformal mapping, and minimal surfaces. Interscience Publishers, New York, 1950. MR 0036317
[8] Császár, Á.: Life and work of Frigyes Riesz. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 48 (2005), 45–57. MR 2323619
[9] Dieudonné, J.: History of functional analysis. North-Holland, Amsterdam, 1981. MR 0605488
[10] Duda, R.: The discovery of Banach spaces. European Mathematics in the Last Centuries. Univ. Wrocław, Wrocław, 2005, 37–46. MR 2177655
[11] Fredholm, I: Oeuvres complètes publiées par l’Institut Mittag-Leffler. Litos Reprotryck, Malmö, 1955.
[12] Gårding, L.: The Dirichlet problem. Math. Intelligencer 2 (1) (1979/80), 43–53. DOI 10.1007/BF03024387 | MR 0558671
[13] Gray, J.: The real and the complex: a history of analysis in the 19th century. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag, Cham, 2015. MR 3380969
[14] Halmos, P. R.: The work of F. Riesz. Functions, series, operators. Vol. I, Proceedings of the Conference, Budapest, August 22–28, 1980, Nagy, B. Sz., (, J. Szabadoseds.), Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai, 35. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1983, 37–48.
[15] Heuser, H.: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. Theorie und Anwendung. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1986. MR 1027595
[16] Heuser, H.: Zur Ideengeschichte der Funktionalanalysis. Math. Semesterber. 35 (1) (1988), 38–63. MR 0945066
[17] Hilbert, D.: Gesammelte Abhandlungen. Band III. Springer-Verlag, Berlin, 1970. MR 0263598
[18] Hölder, O.: Carl Neumann. Math. Ann. 96 (1) (1927), 1–25. MR 1512303
[19] Horváth, J.: On the Riesz-Fischer theorem. Studia Sci. Math. Hungar. 41 (4) (2004), 467–478. MR 2102350
[20] Jahnke, N.: A history of analysis. History of Mathematics 24. American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 2003. DOI 10.1090/hmath/024 | MR 1998242
[21] Järvinen, R. D.: Mathematics history and mathematicians: the case of functional analysis. Global analysis – analysis on manifolds. Teubner-Texte Math. 57, Teubner, Leipzig, 1983, 164–179. MR 0730612
[22] Kalmár, L., Rédei, L., Sz.-Nagy, B.: Frédéric Riesz, 1880–1956. Acta Sci. Math. Szeged 17 (1956), 1–3. MR 0082440
[23] Kellogg, O. D.: Foundations of potential theory. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 31, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1967. MR 0222317
[24] Kline, M.: Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1972. MR 0472307
[25] Král, J.: Potential theory and Neumann’s method. Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft der DDR, Heft 34 (1976), 71–79.
[26] Král, J.: Integral operators in potential theory. Lecture Notes in Mathematics 823. Springer-Verlag, Berlin, 1980. MR 0590244
[27] Král, J., Medková, D.: On the Neumann operator of the arithmetical mean. Acta Math. Univ. Comenian. (N.S.) 61 (2) (1992), 143–165. MR 1205868
[28] Král, J., Netuka, I.: Contractivity of C. Neumann’s operator in potential theory. J. Math. Anal. Appl. 61 (3) (1977), 607–619. DOI 10.1016/0022-247X(77)90165-2 | MR 0508010
[29] Král, J., Netuka, I., Veselý, J.: Teorie potenciálu IV. Státní pedagogické nakladatelství, Praha, 1977.
[30] Kress, R.: Linear integral equations. Applied Mathematical Sciences 82. Springer-Verlag, Berlin, 1989. DOI 10.1007/978-3-642-97146-4_7 | MR 1007594
[31] Kress, R.: Fast 100 Jahre Fredholmsche Alternative. Jahrbuch Überblicke Mathematik, Vieweg, Braunschweig, 1994, 14–27. MR 1263264
[32] Kreyszig, E.: Zur Entwicklung der zentralen Ideen in der Funktionalanalysis. Elem. Math. 41 (2) (1986), 25–35. MR 0880240
[33] Kreyszig, E.: Über die weitere Entwicklung der Funktionalanalysis bis 1932. Elem. Math. 41 (3) (1986), 49–57. MR 0880243
[34] Kreyszig, E.: Friedrich Riesz als Wegbereiter der Funktionalanalysis. Elem. Math. 45 (5) (1990), 117–130. MR 1066781
[35] Lebesgue, H.: Sur la méthode de Carl Neumann. J. Math. Pures Appl., 9e série, 16 (1937), 205–217, 421–423.
[36] Lebesgue, H.: En marge du calcul des variations. Une introduction au calcul des variations et aux inégalités géométriques. Institut de Mathématiques, Université de Geneve; Imprimerie Kundig, Geneva, 1963. MR 0171195
[37] Lebesgue, H.: En marge du calcul des variations. Enseign. Math. 9 (2) (1963), 209–326. MR 0166642
[38] Lonseth, A. T.: Sources and applications of integral equations. SIAM Rev. 19 (2) (1977), 241–278. DOI 10.1137/1019039 | MR 0435754
[39] Lukeš, J.: Úvod do funkcionální analýzy. Univerzita Karlova v Praze, 2005.
[40] Mawhin, J.: Henri Poincaré and the partial differential equations of mathematical physics. The Scientific Legacy of Poincaré, Hist. Math. 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, 257–277. MR 2647629
[41] Monna, A. F.: Functional analysis in historical perspective. Oesthoek, Utrecht, 1973. MR 0482022
[42] Monna, A. F.: Dirichlet’s principle. A Mathematical Comedy of Errors and Its Influence on the Development of Analysis. Oesthoek, Scheltema & Holkema, Utrecht, 1975.
[43] Musielak, J.: On the history of functional analysis. Opuscula Math. 13 (1993), 7, 14, 27–36. MR 1271711
[44] Netuka, I.: Pojem kompaktnosti: původ, vývoj, význam. In: 32. mezinárodní konference Historie matematiky, Jevíčko, 26.–30. 8. 2011, Bečvář, J., Bečvářová, M. (eds.), MatfyzPress, Praha, 2011, 33–76.
[45] Netuka, I., Veselý, J.: Ivar Fredholm a počátky funkcionální analýzy. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 22 (1977), 10–21. MR 0532508
[46] Netuka, I., Veselý, J.: F. Riesz a matematika dvacátého století. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 25 (1980), 128–138. MR 0584172
[47] Netuka, I., Veselý, J.: Integrální rovnice v teorii potenciálu. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 28 (1983), 22–38. MR 0698196
[48] Pier, J.-P.: Mathematical analysis during the 20th century. Oxford University Press, New York, 2001. MR 1932229
[49] Pier, J.-P.: Top breakthroughs in functional analysis during the 20th century. Analysis and Applications, Allied Publ., New Delhi, 2004, 1–15. MR 2192548
[50] Pietsch, A.: Hilbert & Schmidt aneb O jednom mezníku v historii matematiky. Pokroky Mat. Fyz. Astronom. 39 (1994), 65–94.
[51] Pietsch, A.: History of Banach spaces and linear operators. Birkhäuser, Boston, MA, 2007. MR 2300779
[52] Pietsch, A.: Erhard Schmidt and his contributions to functional analysis. Math. Nachr. 283 (1) (2010), 1, 6–20. DOI 10.1002/mana.200910127 | MR 2598590
[53] Reid, C.: Hilbert. Springer-Verlag, Berlin, 1970. Zbl 0208.43501
[54] von Renteln, M.: Zur Situation der Analysis um die Jahrhundertwende. Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff, Berliner Studienreihe Math. 5, Heldermann, Berlin, 1994, 107–130. MR 1277203
[55] Riesz, F.: Les systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues. Gauthier-Villars, Paris, 1913.
[56] Riesz, F.: Oeuvres complètes. Publiées sur l’ordre de l’Académie des Sciences de Hongrie par Ákos Császár. 2 Vols., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1960. MR 0124155
[57] Riesz, F., Sz.-Nagy, B.: Leçons d’analyse fonctionnelle. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1953. MR 0056821
[58] Rudin, W.: Functional analysis. McGrawHill Series in Higher Mathematics. McGrawHill, New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973. MR 0365062
[59] Salié, H.: Carl Neumann. 100 Jahre Mathematisches Seminar der Karl-Marx-Universität Leipzig. Beckert, H., Schumann, H. (Eds.), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1981, 92–101. MR 0645011
[60] Schlote, K.-H.: Carl Neumanns Forschungen zur Potentialtheorie. Centaurus 46 (2) (2004), 99–132. DOI 10.1111/j.1600-0498.2004.00005.x | MR 2098794
[61] Schlote, K.-H.: Carl Neumann’s contributions to potential theory and electrodynamics. European Mathematics in the Last Centuries, Univ. Wrocław, 2005, 123–140. MR 2177661
[62] Siegmund-Schultze, R.: Der Strukturwandel in der Mathematik um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert, untersucht am Beispiel der Entstehung der ersten Begriffsbildungen der Funktionalysis. NTM Schr. Geschichte Natur. Tech. Medizin 18 (1) (1981), 4–20. MR 0648052
[63] Simon, B.: Operator theory. A Comprehensive Course in Analysis, Part 4. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015. MR 3364494
[64] Smithies, F.: The shaping of functional analysis. Bull. London Math. Soc. 29 (2) (1997), 129–138. DOI 10.1112/S0024609396002305 | MR 1425988
[65] Sologub, V. S.: Rozvoj teorie eliptických rovnic v XVIII. a XIX. století (rusky). Naukova Dumka, Kiev, 1975.
[66] Sz.-Nagy, B.: F. Riesz: his life and style. Functions, Series, Operators, Vol. I, II (Budapest, 1980), Colloq. Math. Soc. János Bolyai 35, North-Holland, Amsterdam, 1983, 69–76. MR 0750986
[67] Weyl, H.: Obituary: David Hilbert 1862–1943. Obit. Notices Roy. Soc. London 4 (1944), 547–553. DOI 10.1098/rsbm.1944.0006 | MR 0012064
[68] Weyl, H.: David Hilbert and his mathematical work. Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 612–654. DOI 10.1090/S0002-9904-1944-08178-0 | MR 0011274
[69] Zeilon, N.: Ivar Fredholm (francouzsky). Acta Math. 54 (1) (1930), I–XVI. DOI 10.1007/BF02547515 | MR 1555300
Partner of
EuDML logo