Article
Full entry |
PDF
(0.6 MB)
Feedback
PDF
(0.6 MB)
Feedback
Keywords:
Fractional part; Elementary methods; van der Corput estimates
Fractional part; Elementary methods; van der Corput estimates
Summary:
Let $b>a>0$. We prove the following asymptotic formula $$ \sum _{n\geqslant 0} \big \lvert \{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}\big \rvert =\frac {2}{\pi }\zeta (3/2)\sqrt {cx}+O(c^{2/9}x^{4/9})\,, $$ with $c=b-a$, uniformly for $x \geqslant 40 c^{-5}(1+b)^{27/2}$.
References:
[1] Balazard, M.: Sur la variation totale de la suite des parties fractionnaires des quotients d'un nombre réel positif par les nombres entiers naturels consécutifs. Mosc. J. Comb. Number Theory, 7, 2017, 3-23, MR 3656668
[2] Corput, J.G. van der: Méthodes d'approximation dans le calcul du nombre des points ŕ coordonnées entičres. Enseign. Math., 23, 1923, 5-29,
[3] Corput, J.G. van der: Neue zahlentheoretische Abschätzungen. Math. Ann., 89, 1923, 215-254, DOI 10.1007/BF01455979
[4] Corput, J.G. van der: Zahlentheoretische Abschätzungen mit Anwendung auf Gitterpunktprobleme. Math. Z., 17, 1923, 250-259, DOI 10.1007/BF01504346
[5] Wintner, A.: Square root estimates of arithmetical sum functions. Duke Math. J., 13, 1946, 185-193, DOI 10.1215/S0012-7094-46-01319-1
Search
Partner of
