| Title:
|
Basilejský problém devětkrát jinak (Czech) |
| Title:
|
The Basel Problem Nine Times Differently (English) |
| Author:
|
Haluza, Jan |
| Language:
|
Czech |
| Journal:
|
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie |
| ISSN:
|
0032-2423 |
| Volume:
|
67 |
| Issue:
|
4 |
| Year:
|
2022 |
| Pages:
|
201-222 |
| Summary lang:
|
Czech |
| . |
| Category:
|
math |
| . |
| Summary:
|
V tomto článku podrobně rozebereme celkem devět řešení tzv. basilejského problému (hledání součtu převrácených hodnot druhých mocnin přirozených čísel). První publikované řešení od L. Eulera využívá rozkladu ``nekonečného polynomu'' na součin kořenových činitelů. Druhé řešení pracuje s Taylorovým rozvojem funkce arkussinus a rekurentním vzorcem pro jistý určitý integrál, třetí je založeno na vztazích mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou a výpočtu limity s využitím l'Hospitalova pravidla. Ve čtvrtém řešení odvodíme výsledek pomocí Parsevalovy rovnosti. V pátém nám poslouží transformace dvojného integrálu a Fubiniova věta. V následujících dvou jsou primárními nástroji funkce gama, digama a trigama. V prvním z nich převedeme problém pomocí funkce digama na výpočet limity, ve druhém pak na základě fyzikální interpretace dostaneme hledaný výsledek jako hodnotu funkce trigama v určitém bodě. Předposlední postup využívá teorii pravděpodobnosti a vzorec pro hustotu podílu dvou náhodných veličin. Poslední se pak opět vrací ke vztahům mezi goniometrickými funkcemi a exponenciálou, pomocí nichž vypočítáme jistý integrál. (Czech) |
| MSC:
|
11M06 |
| MSC:
|
40A25 |
| idZBL:
|
Zbl 07729602 |
| . |
| Date available:
|
2023-01-02T09:12:55Z |
| Last updated:
|
2024-01-01 |
| Stable URL:
|
http://hdl.handle.net/10338.dmlcz/151285 |
| . |
| Reference:
|
[1] Apostol, T. M.: A proof that Euler missed: evaluating $\zeta (2)$ the easy way.. Math. Intelligencer 5 (1983), 59–60. MR 0737691, 10.1007/BF03026576 |
| Reference:
|
[2] Došlá, Z., Novák, V.: Nekonečné řady.. 3. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2013. |
| Reference:
|
[3] Dunham, W.: Euler: The Master of us all.. The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1999. MR 1669154 |
| Reference:
|
[4] Haluza, J.: Sčítání nekonečných řad a Basilejský problém.. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2022. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/bazus/ |
| Reference:
|
[5] Harper, J. D.: Another simple proof of $1 + \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots = \frac{\pi ^{2}}{6}$.. Amer. Math. Monthly 110 (2003), 540–541. MR 1984408 |
| Reference:
|
[6] Havil, J.: Gamma: Exploring Euler’s constant.. Princeton University Press, Princeton, 2003. MR 1968276 |
| Reference:
|
[7] Jankov, A.: Basilejský problém.. SOČ, Ostrava, 2016. Dostupné z: http://soc.nidv.cz/archiv/rocnik38/obor/1 |
| Reference:
|
[8] Nahin, P. J.: In pursuit of zeta-3: The world’s most mysterious unsolved math problem.. Princeton University Press, Princeton, 2021. MR 4375345 |
| Reference:
|
[9] Pace, L.: Probabilistically proving that $\zeta (2)=\pi ^2/6$.. Amer. Math. Monthly 118 (2011), 641–643. MR 2826455, 10.4169/amer.math.monthly.118.07.641 |
| Reference:
|
[10] Perkins, D.: $\varphi $, $\pi $, $e$ & $i$.. The Mathematical Association of America, 2018. |
| Reference:
|
[11] Řimnáčová, B.: Mocninné řady.. Bakalářská práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Brno, 2020. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/kym38/ |
| Reference:
|
[12] Silagadze, Z. K.: The Basel problem: A physicist’s solution.. Math. Intelligencer 41 (2019), 14–18. MR 3995311, 10.1007/s00283-019-09902-x |
| Reference:
|
[13] Sullivan, B. W.: The Basel problem: numerous proofs. [online]. Dostupné z: https://www.math.cmu.edu/ bwsulliv/basel-problem.pdf |
| Reference:
|
[14] Van Der Poorten, A., Apéry, R.: A proof that Euler missed: Apéry’s proof of the irrationality of $\zeta (3)$.. Math. Intelligencer 1 (1979), 195–203. MR 0547748, 10.1007/BF03028234 |
| Reference:
|
[15] Veselý, J.: Komplexní analýza pro učitele.. Karolinum, Praha, 2000. |
| . |
