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MSC:
18A25,
18D05,
18G30,
18G35,
18G55,
55P15,
55U10,
55U15,
55U35 | MR 4074278 | Zbl 1477.18049 | DOI: 10.21136/HS.2020.07
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Keywords:
$\infty$-catégories comma; $\infty$-catégories de Gray; $\infty$-catégories strictes; complexes dirigés augmentés; ensembles simpliciaux; joint; nerf de Street; orientaux; produit tensoriel de Gray; sesquicatégories; théorème $A$; tranches; transformations oplax
$\infty$-catégories comma; $\infty$-catégories de Gray; $\infty$-catégories strictes; complexes dirigés augmentés; ensembles simpliciaux; joint; nerf de Street; orientaux; produit tensoriel de Gray; sesquicatégories; théorème $A$; tranches; transformations oplax
Summary:
Cet article est le second d’une série de deux articles consacrés à une généralisation du théorème $A$ de Quillen aux $\infty$-catégories strictes. Dans le premier, nous avons exposé une preuve de nature simpliciale, rapide mais quelque peu {\it ad hoc}, de ce théorème $A$. Dans le présent article, nous en donnons une preuve conceptuelle, de nature $\infty$-catégorique, basée sur, d’une part, la théorie du joint et des tranches $\infty$-catégoriques développée par les auteurs dans un précédent travail et, d’autre part, une construction comma pour les $\infty$-catégories strictes qui généralise les catégories comma classiques et les 2-catégories comma de Gray. Cette construction comma $\infty$-catégorique est utilisée par le premier auteur dans un autre article pour démontrer une généralisation du théorème $B$ de Quillen aux $\infty$-catégories strictes. L’importance de cette construction comma en théorie des $\infty$-catégories nous semble dépasser largement le cadre de la théorie de l’homotopie.
Summary:
This paper is the second in a series of two papers about generalizing Quillen's Theorem A to strict $\infty$-categories. In the first one, we presented a proof of this Theorem A of a simplicial nature, direct but somewhat ad hoc. In the current paper, we give a conceptual proof of an $\infty$-categorical nature of the same theorem. This proof is based on the theory of join and slices for strict $\infty$-categories developed by the authors in a previous paper, and on a comma construction for strict $\infty$-categories generalizing classical comma categories and Gray's comma 2-categories. This $\infty$-categorical comma construction is used by the first author in another paper to prove a generalization of Quillen's Theorem B to strict $\infty$-categories. We believe that the importance of this comma construction in the theory of $\infty$-categories goes far beyond the scope of homotopy theory.
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