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integral geometry
The measurability of the family, made up of the family of plane pairs and the family of lines in $3$-dimensional space $A_{3}$, is stated and its density is given.
[1] Chern S. S.: Sur les invariant integràus en géométrie. Sci. Repts. Nat., Tsing-Hua Univ., A 4 (1940), 85–95. MR 0004527
[2] Cirlincione L.: On a family of varietes not satisfyng Stoka ’s measurability condition. Cahieres de Topologie et Géométrie Différentielle 24, 2 (1983), 145–154. MR 0710037
[3] Crofton W. K.: On the theory of local probability, applied to straigth lines drawn at random in a plane; the method used being also extended to the proof of certain theorem in the integral calculus. Phil. Trans. R. Soc. London 158 (1869), 139–187.
[4] Deltheil R.: Probabilités géométriques, nel Traité du calcul dès probabilités, de ses application. : Diretto da E. Borel, v. II, f.II (Paris, Gauthier-Villar). 1926.
[5] Dulio P.: Restriction of measure on subfamlies. Atti del V Italiano Convegno di Geometria Integrale, Probabilità Geometriche e Corpi Convessi, Rend. Circ. Mat., Palermo, 1995.
[6] Dulio P.: Some results on the Integral Geometry of unions of indipendent families. Rev. Colombiana Mat. 31, 2 (1997), 99–108. MR 1667592
[7] Raguso G., Rella L.: Sulla misurabilità della famiglia delle coppie di sfere ortogonali. Suppl. Rend. Circ. Mat. di Palermo 41, 2 (1996), 186–94.
[8] Raguso G., Rella L.: Sulla misurabilità delle coppie di ipersfere ortogonali di $E_{n}$. Seminarberitche, Fachbereich Mathematik, Feruniversität, Hagen, 54 (1996), 154–164.
[9] Santaló L. A.: Integral Geometry in projective and affiine spaces. Ann. of Math. 51, 2 (1950), 739–755. MR 0035046
[10] Stoka M. I.: Geometria Integrale in uno spazio euclideo $R^{n}$. Boll. Un. Mat. Ital. 13 (1958), 470–485. MR 0103516
[11] Stoka M. I.: Géométrie Intégrale. : Mem. Sci. Math. 165, Gauthier-Villars, Paris. 1968. MR 0231336
[12] Stoka M. I.: La misurabilità della famiglia delle ipersfere nello spazio proiettivo $P_{n}$. : Atti dell’ Acc. di Scienze Lettere e Arti di Palermo, Serie IV, Vol. XXXVI, Parte I. 1976–77.
[13] Stoka M. I.: Probabilità e Geometria. : Herbita Editrice, Palermo. 1982.
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