Article
Full entry |
PDF
(0.3 MB)
Feedback
PDF
(0.3 MB)
Feedback
Summary:
Prvočísla a otázky s nimi spojené představují často jedny z nejtěžších problémů matematiky a mnohé z nich zůstávají stále otevřené. V tomto článku se zabýváme otázkou, jak blízko ke zvolenému číslu již můžeme nalézt nějaké prvočíslo. Na základě známých tvrzení lze vyslovit hypotézu, že z každého přirozeného čísla lze již změnou nejvýše dvou číslic získat prvočíslo. Úvahy, kterými rozvíjíme známé výsledky, jsou čistě aritmetické povahy. Vyslovená hypotéza, která je závislá na hypotéze z (Hanson, 1973) není jen zajímavým teoretickým poznatkem, ale může sloužit i pro oživené hodin matematiky, a to aktivitami, kdy žáci sami budou hledat blízká prvočísla ke zvolenému číslu.
Summary:
Prime numbers and the questions associated with them are some of the most difficult problems in mathematics, and many of them remain open. In this article, we address the question of how close to a chosen number we can already find a prime. On the basis of well-known statements, it can be conjectured that a prime number can be obtained from any natural number by changing at most two digits. The reasoning by which we develop the known results is of a purely arithmetical nature. The hypothesis stated, which is dependent on the hypothesis from (Hanson, 1973), is not only an interesting theoretical observation, but can also serve to enliven mathematics lessons by activities in which the pupils themselves search for close prime numbers to the chosen number.
References:
[1] Bachraoui, M. E.: Primes in the interval [2n,3n]. (2006). The International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 1, 617-621. DOI 10.12988/ijcms.2006.06065 | MR 2289714
[2] Bertrand, J: Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme. (1845). Journal de l'École Royale Polytechnique, 30(18), 123–140.
[3] Breusch, R.: Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates, daß zwischen x und 2x stets Primzahlen liegen. (1932). Mathematische Zeitschrift, 18, 505-526. DOI 10.1007/BF01180606 | MR 1545270
[4] Dirichlet, P. G. L.: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. (1837). Abhandlungen der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 48, 45-91.
[5] Erdös, P.: Beweis eines Satzes von Tschebyschef. (1932). Acta Litt, 5, 194-198.
[6] Gatteschi, L.: Un perfezionamento di un teorema di I. Schur sulla frequenza dei numeri primi. (1947). Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, 3(2), 123–125. MR 0023276
[7] Hanson, D.: On a Theorem of Sylvester and Schur. (1973). Canadian Mathematical Bulletin. 16, 195-199. DOI 10.4153/CMB-1973-035-3 | MR 0340162
[8] Loo, A.: On the Primes in the Interval [3n, 4n]. (2011). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 6(38), 1871-1872. MR 2855723
[9] Nagura, J.: On the interval containing at least one prime number. (1952). Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 28(4), 177-181. MR 0050615
[10] Oliveira e Silva, T., Herzog, S., Pardi, S.: Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to $4\times 10^18$. (2014). Mathematics of Computation, 83(288), 2033-2060. DOI 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 | MR 3194140
[11] Ramanujan, S.: A proof of Bertrand’s postulate. (1919). Journal of the Indian Mathematical Society, 11, 181-182.
[12] Rohrbach, H., Weis, J.: Berichtigung zu der Arbeit 'Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats'. (1964a). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216, 220-220. MR 0161820
[13] Rohrbach, H., Weis, J.: Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulats. (1964b). Journal für die reine und angewandte Mathematik, 0214_0215, 432-440. MR 0161820
[14] Schoenfeld, L.: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x). II. (1976). Mathematics of Computation, 30(134), 337–360. MR 0457374
[15] Schur, I.: Einige Sätze über Primzahlen : mit Anwendungen auf rreduzibilitätsfragen. (1929). Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften (Physikalisch-Mathematische Klasse), 126-136.
[16] Tchebichef, P. L.: Mémoire sur les nombres premiers. (1852). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 17, 366-390.
Search
Partner of
